RUMUS KEINDAHAN YANG DICIPTAKAN DI ALAM: RASIO EMAS
Harun Yahya2105
18 February, 2018
Sesungguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu. (QS. Ath Thalaaq, 65: 3)
Kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang? Kemudian pandanglah sekali lagi niscaya penglihatanmu akan kembali kepadamu dengan tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itu pun dalam keadaan payah. (QS. Al Mulk, 67: 3-4)
... Jika sebuah bentuk yang sesuai atau sangat seimbang didapatkan melalui unsur penerapan atau fungsi, maka kita dapat mencari fungsi Angka Emas padanya... Angka Emas bukanlah hasil dari imajinasi matematis, akan tetapi merupakan kaidah alam yang terkait dengan hukum keseimbangan. (1)
Apa yang sama-sama dimiliki oleh piramida di Mesir, lukisan Mona Lisa karya Leonardo da Vinci, bunga matahari, bekicot, buah cemara dan jari-jemari Anda?
Jawaban atas pertanyaan ini tersembunyi pada sebuah deret angka yang ditemukan oleh matematikawan Italia, Fibonacci. Sifat angka-angka ini, yang dikenal sebagai angka-angka Fibonacci, adalah bahwa masing-masing angka dalam deret tersebut merupakan hasil penjumlahan dari dua angka sebelumnya. (2)
 L. Pisano Fibonacci |
Angka Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …
Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika Anda membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan Anda dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Angka ini dikenal sebagai "golden ratio" atau "rasio emas".
233 / 144 = 1,618 377 / 233 = 1,618 610 / 377 = 1,618 987 / 610 = 1,618 1597 / 987 = 1,618 2584 / 1597 = 1,618 |
TUBUH MANUSIA DAN RASIO EMAS
Ketika melakukan penelitian atau memulai merancang produk, para seniman, ilmuwan dan perancang mengambil tubuh manusia, yang perbandingan ukurannya ditetapkan berdasarkan rasio emas, sebagai acuan ukuran yang mereka gunakan. Leonardo da Vinci dan Le Corbusier menggunakan tubuh manusia, yang ukurannya ditetapkan menurut rasio emas, sebagai patokan ukuran ketika membuat rancangan karya mereka. Tubuh manusia dijadikan pula sebagai patokan dalam the Neufert, salah satu buku rujukan terpenting arsitektur abad modern.
 Leonardo da Vinci menggunakan rasio emas dalam merancang perbandingan ukuran tubuh manusia. |
RASIO EMAS PADA TUBUH MANUSIA
Hubungan kesesuaian "ideal" yang dikemukakan ada pada berbagai bagian tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas dapat dijelaskan dalam sebuah bagan umum sebagaimana berikut: (3)
Nilai perbandingan M/m pada diagram berikut selalu setara dengan rasio emas. M/m = 1,618
Contoh pertama dari rasio emas pada tubuh manusia rata-rata adalah jika antara pusar dan telapak kaki dianggap berjarak 1 unit, maka tinggi seorang manusia setara dengan 1,618 unit. Beberapa rasio emas lain pada tubuh manusia rata-rata adalah:
Jarak antara ujung jari dan siku / jarak antara pergelangan tangan dan siku,
Jarak antara garis bahu dan unjung atas kepala / panjang kepala,
Jarak antara pusar dan ujung atas kepala / jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala,
Jarak antara pusar dan lutut / jarak antara lutut dan telapak kaki.
Jarak antara garis bahu dan unjung atas kepala / panjang kepala,
Jarak antara pusar dan ujung atas kepala / jarak antara garis bahu dan ujung atas kepala,
Jarak antara pusar dan lutut / jarak antara lutut dan telapak kaki.
Tangan Manusia
Angkatlah tangan Anda dari mouse komputer dan lihatlah bentuk jari telunjuk Anda. Dalam segala kemungkinan akan Anda saksikan rasio emas padanya.
Jari-jemari kita memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari dua ruas pertama terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan angka rasio emas (kecuali ibu jari). Anda juga dapat melihat bahwa perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking merupakan rasio emas pula. (4)
Anda memiliki dua (2) tangan, dan jari-jemari yang ada padanya terdiri dari tiga (3) ruas. Terdapat lima (5) jari pada setiap tangan, dan hanya delapan (8) dari keseluruhan sepuluh jari ini tersambung menurut rasio emas: 2, 3, 5, dan 8 bersesuaian dengan angka-angka pada deret Fibonacci.
Rasio Emas pada Wajah Manusia
Terdapat beberapa rasio emas pada wajah manusia. Akan tetapi Anda tidak dianjurkan mengambil penggaris dan berusaha mengukur wajah-wajah orang, sebab hal ini merujuk pada "wajah manusia ideal" yang ditetapkan oleh para ilmuwan dan seniman.
Misalnya, jumlah lebar dua gigi depan pada rahang atas dibagi dengan tingginya menghasilkan rasio emas. Lebar gigi pertama dari tengah dibandingkan gigi kedua juga menghasilkan rasio emas. Semua ini adalah perbandingan ukuran ideal yang mungkin dipertimbangkan oleh seorang dokter. Sejumlah rasio emas lain pada wajah manusia adalah:
Panjang wajah / lebar wajah,
Jarak antara bibir dan titik di mana kedua alis mata bertemu / panjang hidung,
Panjang wajah / jarak antara ujung rahang dan titik di mana kedua alis mata bertemu,
Panjang mulut / lebar hidung,
Lebar hidung / jarak antara kedua lubang hidung,
Jarak antara kedua pupil / jarak antara kedua alis mata.
Jarak antara bibir dan titik di mana kedua alis mata bertemu / panjang hidung,
Panjang wajah / jarak antara ujung rahang dan titik di mana kedua alis mata bertemu,
Panjang mulut / lebar hidung,
Lebar hidung / jarak antara kedua lubang hidung,
Jarak antara kedua pupil / jarak antara kedua alis mata.
Rasio Emas pada Paru-Paru
Dalam sebuah penelitian yang dilakukan antara tahun 1985 dan 1987 (5), fisikawan Amerika B. J. West dan Dr. A. L. Goldberger menemukan keberadaan rasio emas pada struktur paru-paru. Salah satu ciri jaringan bronkia yang menyusun paru-paru adalah susunannya yang asimetris. Misalnya, pipa saluran udara yang bercabang membentuk dua bronkia utama, satu panjang (bronkia kiri) dan yang kedua pendek (bronkia kanan). Percabangan asimetris ini terus berlanjut ke percabangan-percabangan bronkia selanjutnya. (6) Telah dipastikan bahwa pada seluruh percabangan ini perbandingan antara bronkia pendek terhadap bronkia panjang selalu bernilai 1/1,618.
PERSEGI PANJANG EMAS DAN RANCANGAN PADA SPIRAL
Sebuah persegi panjang yang perbandingan panjang sisi-sisinya sama dengan rasio emas dikenal sebagai "persegi panjang emas." Sebuah persegi panjang yang panjang dan lebarnya masing-masing berukuran 1,618 dan 1 satuan panjang adalah persegi panjang emas.
Mari kita letakkan sebuah bujur sangkar di sepanjang sisi lebar dari persegi panjang ini dan menggambar seperempat lingkaran yang menghubungkan dua sudut dari bujur sangkar ini. Kemudian, kita gambar satu bujur sangkar lagi dan seperempat lingkaran pada sisi yang selebihnya dan melakukan hal demikian pada seluruh persegi panjang yang ada pada persegi panjang utama. Jika Anda melakukan hal ini, pada akhirnya Anda akan mendapatkan sebuah spiral.
Pakar keindahan asal Inggris William Charlton menjelaskan bagaimana orang-orang menyukai bentuk spiral dan telah menggunakannya selama ribuan tahun. Ia menyatakan bahwa kita menyukai bentuk spiral karena penglihatan kita dapat dengan mudah mengikuti bentuk tersebut. (7)
Spiral yang didasarkan pada rasio emas memiliki rancangan paling tak tertandingi yang dapat Anda temukan di alam. Sejumlah contoh pertama yang dapat kita berikan adalah susunan spiral pada bunga matahari dan buah cemara. Ada lagi contoh yang merupakan penciptaan tanpa cela oleh Allah Yang Mahakuasa dan bagaimana Dia menciptakan segala sesuatu dengan ukuran: proses pertumbuhan banyak makhluk hidup berlangsung pula dalam bentuk spiral logaritmik. Bentuk-bentuk lengkung spiral ini senantiasa sama dan bentuk dasarnya tidak pernah berubah berapapun ukurannya. Tidak ada bentuk mana pun dalam matematika yang memiliki sifat ini. (8)
Rancangan pada Kerang Laut
 Rancangan tanpa cela pada cangkang nautilus memiliki bentuk yang mengikuti rumus rasio emas. |
Saat meneliti cangkang makhluk hidup yang digolongkan sebagai hewan bertubuh lunak atau moluska, yang hidup di dasar laut, bentuk dan struktur permukaan bagian dalam dan luar dari cangkangnya menarik perhatian para ilmuwan:
Permukaan bagian dalamnya halus licin, sedangkan di bagian luarnya bergalur. Tubuh moluska berada di dalam cangkang, oleh karena itu permukaan bagian dalamnya haruslah halus licin. Garis pinggiran luar dari cangkang menambah kekokohan cangkang, sehingga meningkatkan kekuatannya. Bentuk-bentuk cangkang membuat orang kagum karena kesempurnaan dan sifat menguntungkan yang dihasilkan proses penciptaannya. Gagasan spiral pada cangkang terwujudkan dalam bentuk geometris sempurna, dalam bentuk rancangan yang sungguh elok dan "tajam". (9)
Cangkang-cangkang kebanyakan moluska tumbuh mengikuti bentuk spiral logaritmik. Sungguh tidak ada keraguan bahwa hewan-hewan ini tidak memahami perhitungan matematis paling sederhana sekalipun, apalagi bentuk spiral logaritmik. Jadi bagaimana makhluk-makhluk tersebut dapat mengetahui hal itu sebagai yang terbaik baginya untuk tumbuh? Bagaimana binatang-binatang ini, yang oleh sejumlah ilmuwan digambarkan sebagai makhluk "primitif," tahu bahwa spiral logaritmik adalah bentuk terbaik bagi mereka? Mustahil pertumbuhan semacam ini terjadi tanpa adanya suatu pengetahuan atau kecerdasan. Pengetahuan tersebut ada tapi bukan pada moluska ataupun di alam itu sendiri, meskipun sejumlah ilmuwan menyatakan hal demikian. Sama sekali tidaklah masuk akal untuk berusaha menjelaskan hal tersebut sebagai suatu ketidaksengajaan. Rancangan ini hanya dapat dihasilkan oleh suatu kecerdasan dan pengetahuan mahatinggi, yang merupakan milik Allah Yang Mahakuasa, Pencipta segala sesuatu:
"Pengetahuan Tuhanku meliputi segala sesuatu. Maka apakah kamu tidak dapat mengambil pelajaran (daripadanya) ?" (QS. Al An'aam, 6: 80)
Pertumbuhan mengikuti pola semacam ini digambarkan sebagai "gnomic growth" (pertumbuhan gnomis) oleh ilmuwan biologi Sir D'Arcy Thompson, seorang pakar dalam bidang tersebut, yang menyatakan bahwa mustahil membayangkan adanya sistem lain yang lebih sederhana, selama pertumbuhan cangkang kerang laut, daripada sistem yang didasarkan pada pelebaran dan pemanjangan yang terbentuk mengikuti perbandingan yang sama dan tidak berubah. Ia menjelaskan, cangkang tersebut terus-menerus tumbuh, akan tetapi bentuknya tetap sama. (10)
Seseorang dapat menyaksikan salah satu contoh paling bagus dari pertumbuhan semacam ini pada seekor nautilus, yang garis tengahnya hanya beberapa sentimeter. C. Morrison menjelaskan proses pertumbuhan ini, yang sangat sulit untuk dirancang sekalipun dibantu dengan kecerdasan manusia, dengan menyatakan bahwa di sepanjang cangkang nautilus, spiral yang ada di bagian dalam memanjang dan tersusun atas sejumlah bilik yang disekat oleh dinding-dinding yang terbuat dari karang mutiara. Ketika hewan ini tumbuh, ia membentuk satu bilik lagi di mulut cangkang spiral yang berukuran lebih besar daripada bilik sebelumnya, dan bergerak maju memasuki tempat yang lebih besar ini dengan menutup pintu di belakangnya menggunakan selembar sekat karang mutiara. (11)
Nama ilmiah dari sejumlah hewan laut lain yang memiliki spiral logaritmik dengan rasio pertumbuhan yang berbeda-beda pada cangkang mereka adalah:
Haliotis parvus, Dolium perdix, Murex, Fusus antiquus, Scalari pretiosa, Solarium trochleare.
Ammonite, binatang laut punah yang kini ditemukan hanya dalam bentuk fosil, juga memiliki cangkang yang tumbuh mengikuti bentuk spiral logaritmik.
Pertumbuhan mengikuti bentuk spiral pada dunia hewan tidak terbatas pada cangkang-cangkang moluska. Binatang-binatang seperti antelop, kambing dan biri-biri menyelesaikan perkembangan tanduk mereka dalam bentuk spiral yang berdasarkan rasio emas. (12)
Rasio Emas pada Organ Pendengaran dan Keseimbangan.
Koklea pada telinga bagian dalam manusia berperan menghantarkan getaran suara. Struktur bertulang ini, yang berisi cairan, memiliki bentuk spiral logaritmik dengan sudut tetap =73°43´ yang memiliki rasio emas.
Gading dan Gigi yang Tumbuh Mengikuti Bentuk Spiral
Contoh-contoh lengkungan yang berdasarkan pada spiral logaritmik dapat disaksikan pada gading gajah dan mammoth (sebangsa gajah purba yang besar dan berambut) yang kini telah punah, cakar singa, dan paruh burung beo. Laba-laba eperia senantiasa merajut jaringnya dengan bentuk spiral logaritmik. Di kalangan mikroorganisme yang dikenal sebagai plankton, tubuh hewan globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae dan trochida semuanya membentuk spiral.
RASIO EMAS DALAM DUNIA MIKRO
Bentuk-bentuk geometris tidaklah terbatas pada segitiga, bujur sangkar, segilima atau segienam. Bentuk-bentuk ini juga dapat saling bertemu dalam aneka cara dan menghasilkan bentuk geometris tiga dimensi yang baru. Kubus dan piramida adalah contoh pertama yang dapat dikemukakan. Namun, ada pula selain itu bentuk-bentuk tiga dimensi seperti tetrahedron (dengan empat sisi yang seragam), oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron, yang mungkin tak pernah kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari kita dan yang namanya bahkan mungkin belum pernah kita dengar. Dodekahedron tersusun atas 12 sisi berbentuk segilima, dan ikosahedron terdiri dari 20 buah sisi segitiga. Para ilmuwan telah menemukan bahwa bentuk-bentuk ini secara matematis seluruhnya dapat berubah bentuk dari satu ke yang lain, dan perubahan ini terjadi dengan rasio yang terkait dengan rasio emas.
Bentuk-bentuk tiga dimensi yang memiliki rasio emas sangatlah umum pada mikroorganisme. Banyak virus berbentuk ikosahedron. Di antara yang terkenal adalah virus Adeno. Cangkang protein dari virus Adeno tersusun atas 252 subunit protein, yang kesemuanya tersusun secara seragam. Sebanyak 12 subunit protein yang terletak pada sudut-sudut ikosahedron tersebut membentuk prisma pentagonal. Bentuk menyerupai batang menonjol keluar dari sudut-sudut ini.
Yang pertama menemukan bahwa virus-virus ada dalam bentuk-bentuk yang memiliki rasio emas adalah Aaron Klug dan Donald Caspar dari Birkbeck College di London pada tahun 1950-an. Virus pertama yang mereka pastikan memiliki rasio emas adalah virus polio. Virus Rhino 14 memiliki bentuk yang sama seperti virus polio.
Mengapa virus-virus memiliki bentuk-bentuk yang didasarkan pada rasio emas, yakni bentuk-bentuk yang sulit untuk kita bayangkan dalam benak kita sekalipun? A. Klug, yang menemukan bentuk-bentuk ini, memaparkan:
Rekan saya Donald Caspar dan saya menunjukkan bahwa rancangan pada virus-virus ini dapat dijelaskan melalui keumuman bentuk simetri ikosahedral yang memungkinkan satuan-satuan pembangunnya yang seragam untuk dipasangkan satu sama lain dalam susunan yang kurang lebih sama, dengan sedikit kelenturan di dalamnya. Kami mengumpulkan seluruh rancangan yang mungkin, yang memiliki kemiripan dengan kubah-kubah geodesik yang dirancang oleh sang arsitek R.Buckminster Fuller. Akan tetapi, kubah-kubah Fuller harus dirakit dengan mengikuti rumus-rumus yang lumayan rumit, sedangkan rancangan pada cangkang virus memungkinkannya terbentuk secara mandiri. (14)
Penjelasan Klug sekali lagi menyingkap sebuah kebenaran nyata. Terdapat perencanaan teramat teliti dan perancangan cerdas pada virus sekalipun, wujud yang dianggap para ilmuwan sebagai "salah satu makhluk hidup paling sederhana dan paling kecil." (15) Rancangan ini sangat jauh lebih sempurna dan unggul dibandingkan karya Buckminster Fuller, salah satu arsitek terkemuka di dunia.
Dodekahedron dan ikosahedron juga tampak pada rangka silika dari radiolaria, organisme laut bersel satu. Bentuk dan ukuran yang didasarkan pada dua bentuk geometris ini, seperti dodekahedron sama-sisi dengan bagian menyerupai kaki yang menonjol keluar dari masing-masing sudutnya, serta aneka bentuk pada permukaannya memunculkan bentuk-bentuk badan radiolaria dengan keindahan yang beragam. (16) Sebagai contoh dari kelompok organisme ini, yang berukuran kurang dari satu milimeter, dapat kita kemukakan Circigonia icosahedra yang berbentuk ikosahedron dan Circorhegma dodecahedra dengan rangka dodekahedron. (17)
Rasio Emas pada DNA
Molekul yang mengandung informasi tentang seluruh sifat-sifat fisik makhluk hidup juga telah diciptakan dalam bentuk yang didasarkan pada rasio emas. Molekul DNA, cetak biru kehidupan, didasarkan pada rasio emas. DNA tersusun atas dua rantai heliks tegaklurus yang saling berjalinan. Panjang lengkungan pada setiap rantai heliks ini adalah 34 angstroms dan lebarnya 21 angstroms. (1 angstrom adalah seperseratus juta sentimeter.) 21 dan 34 adalah dua angka Fibonacci yang berurutan.
RASIO EMAS PADA KRISTAL SALJU
Rasio emas juga mewujud pada struktur kristal. Kebanyakan struktur ini teramat kecil untuk dapat dilihat dengan mata telanjang. Akan tetapi Anda dapat menyaksikan rasio emas pada serpihan salju. Ragam bentuk panjang dan pendek yang beraneka yang membangun bentuk serpihan salju, semuanya menghasilkan rasio emas. (18)
RASIO EMAS DI RUANG ANGKASA
Di jagat raya terdapat banyak galaksi-galaksi berbentuk pilin (spiral) yang memiliki rasio emas pada strukturnya.
Rasio Emas dalam Fisika
Anda menjumpai deret dan rasio emas di bidang-bidang yang termasuk dalam ruang lingkup fisika. Ketika suatu sumber cahaya ditempatkan di atas dua lapisan kaca yang saling bertumpukan, sebagian dari cahaya itu menembusnya, sebagian lagi diserap, dan sisanya dipantulkan. Apa yang terjadi adalah "pemantulan berulang-ulang." Jumlah garis yang dilalui berkas cahaya di dalam kaca sebelum akhirnya keluar kembali bergantung pada jumlah pemantulan yang dialaminya. Pada akhirnya, ketika kita menghitung jumlah berkas cahaya yang akhirnya keluar kembali, kita dapati bahwa jumlah ini bersesuaian dengan angka-angka Fibonacci.
Fakta bahwa banyak sekali struktur benda hidup dan tak hidup yang saling tak terkait di alam namun memiliki bentuk yang mengikuti satu rumus matematis tertentu merupakan salah satu bukti paling nyata bahwa semua ini telah dirancang secara khusus. Rasio emas adalah rumus keindahan yang sangat dikenal dan diterapkan oleh para seniman. Karya-karya seni yang didasarkan pada rasio itu menampilkan kesempurnaan keindahan. Tumbuhan, galaksi, mikroorganisme, kristal dan makhluk hidup yang dirancang menurut acuan yang ditiru oleh para seniman ini semuanya adalah contoh daya cipta mahahebat dari Allah. Allah menyatakan dalam Al Qur'an bahwa Dia telah menciptakan segala sesuatu menurut ukuran. Beberapa ayat ini berbunyi:
… Sesungguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu. (QS. At Thalaaq, 65: 3)
… Dan segala sesuatu pada sisi-Nya ada ukurannya. (QS. Ar Ra'd, 13: 8)
1- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 155.
2- Guy Murchie, The Seven Mysteries of Life, First Mariner Boks, New York, h. 58-59.
3- J. Cumming, Nucleus: Architecture and Building Construction, Longman, 1985.
4- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 87.
5- A. L. Goldberger, et al., "Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling." Experientia, 41 : 1537, 1985.
6- E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.
7- William Charlton, Aesthetics: An Introduction, Hutchinson University Library, London, 1970.
8- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 77.
9- "The 'Golden' spirals and 'pentagonal' symmetry in the alive Nature," online at: http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
10- D'Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961.
11- C. Morrison, Along The Track, Withcombe and Tombs, Melbourne.
12- "The 'Golden' spirals and 'pentagonal' symmetry in the alive Nature," online at: http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
13- J. H. Mogle, et al., "The Stucture and Function of Viruses," Edward Arnold, London, 1978.
14- A. Klug, "Molecules on Grand Scale," New Scientist, 1561:46, 1987.
15- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 82.
16- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 85.
17- For bodies of radiolarians, see H. Weyl, Synnetry, Princeton, 1952.
18- Emre Becer, "Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralý Olarak, Altýn Oran" (The Golden Ratio as a Mathematical Rule of Formal Harmony), Bilim ve Teknik Dergisi (Journal of Science and Technology), January 1991, h.16.
19- V.E. Hoggatt, Jr. and Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.
2- Guy Murchie, The Seven Mysteries of Life, First Mariner Boks, New York, h. 58-59.
3- J. Cumming, Nucleus: Architecture and Building Construction, Longman, 1985.
4- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 87.
5- A. L. Goldberger, et al., "Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling." Experientia, 41 : 1537, 1985.
6- E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.
7- William Charlton, Aesthetics: An Introduction, Hutchinson University Library, London, 1970.
8- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 77.
9- "The 'Golden' spirals and 'pentagonal' symmetry in the alive Nature," online at: http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
10- D'Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961.
11- C. Morrison, Along The Track, Withcombe and Tombs, Melbourne.
12- "The 'Golden' spirals and 'pentagonal' symmetry in the alive Nature," online at: http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
13- J. H. Mogle, et al., "The Stucture and Function of Viruses," Edward Arnold, London, 1978.
14- A. Klug, "Molecules on Grand Scale," New Scientist, 1561:46, 1987.
15- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 82.
16- Mehmet Suat Bergil, Doðada/Bilimde/Sanatta, Altýn Oran (The Golden Ratio in Nature/Science/Art), Arkeoloji ve Sanat Yayinlari, 2nd Edition, 1993, h. 85.
17- For bodies of radiolarians, see H. Weyl, Synnetry, Princeton, 1952.
18- Emre Becer, "Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralý Olarak, Altýn Oran" (The Golden Ratio as a Mathematical Rule of Formal Harmony), Bilim ve Teknik Dergisi (Journal of Science and Technology), January 1991, h.16.
19- V.E. Hoggatt, Jr. and Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.
BAGIKAN
